Integral de (x^4*dx)/(2-x^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x^{4}}{\sqrt{2 - x^{2}} \left(x^{2} - 2\right)}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x^{4}}{\sqrt{2 - x^{2}} \left(x^{2} - 2\right)}\, dx$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}} = - \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x^{4}}{\sqrt{2 - x^{2}} \left(x^{2} - 2\right)}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x^{4}}{\sqrt{2 - x^{2}} \left(x^{2} - 2\right)}\, dx$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} + \frac{12 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} + \frac{12 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4} - \frac{6 x \sqrt{2 - x^{2}}}{2 x^{2} - 4} + \frac{12 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2 x^{2} - 4}+ \mathrm{constant}$