Integral de 6*x^2/(5+x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 5$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(x^{3} + 5 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u + 5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u + 5}\, du = 2 \int \frac{1}{u + 5}\, du$

         1. que $u = u + 5$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u + 5 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(x^{3} + 5 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(x^{3} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(x^{3} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$