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Resolución de integrales/ lg(x)/ (7-2x)/ (7-2x)*lg(x)

Integral de (7-2x)*lg(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1000                   
   /                    
  |                     
  |  (7 - 2*x)*log(x) dx
  |                     
 /                      
 100
∫1001000(7−2x)log⁡(x) dx\int\limits_{100}^{1000} \left(7 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((7 - 2*x)*log(x), (x, 100, 1000))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(−2ue2u+7ueu) du\int \left(- 2 u e^{2 u} + 7 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2ue2u) du=−2∫ue2u du\int \left(- 2 u e^{2 u}\right)\, du = - 2 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −ue2u+e2u2- u e^{2 u} + \frac{e^{2 u}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7ueu du=7∫ueu du\int 7 u e^{u}\, du = 7 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 7ueu−7eu7 u e^{u} - 7 e^{u}

        El resultado es: −ue2u+7ueu+e2u2−7eu- u e^{2 u} + 7 u e^{u} + \frac{e^{2 u}}{2} - 7 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x2log⁡(x)+x22+7xlog⁡(x)−7x- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 7 x \log{\left(x \right)} - 7 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7−2x)log⁡(x)=−2xlog⁡(x)+7log⁡(x)\left(7 - 2 x\right) \log{\left(x \right)} = - 2 x \log{\left(x \right)} + 7 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xlog⁡(x)) dx=−2∫xlog⁡(x) dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7log⁡(x) dx=7∫log⁡(x) dx\int 7 \log{\left(x \right)}\, dx = 7 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 7xlog⁡(x)−7x7 x \log{\left(x \right)} - 7 x

      El resultado es: −x2log⁡(x)+x22+7xlog⁡(x)−7x- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 7 x \log{\left(x \right)} - 7 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=7−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 7 - 2 x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫7 dx=7x\int 7\, dx = 7 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

        El resultado es: −x2+7x- x^{2} + 7 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+7xx=7−x\frac{- x^{2} + 7 x}{x} = 7 - x

    3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫7 dx=7x\int 7\, dx = 7 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: −x22+7x- \frac{x^{2}}{2} + 7 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7−2x)log⁡(x)=−2xlog⁡(x)+7log⁡(x)\left(7 - 2 x\right) \log{\left(x \right)} = - 2 x \log{\left(x \right)} + 7 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xlog⁡(x)) dx=−2∫xlog⁡(x) dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7log⁡(x) dx=7∫log⁡(x) dx\int 7 \log{\left(x \right)}\, dx = 7 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 7xlog⁡(x)−7x7 x \log{\left(x \right)} - 7 x

      El resultado es: −x2log⁡(x)+x22+7xlog⁡(x)−7x- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 7 x \log{\left(x \right)} - 7 x

  2. Ahora simplificar:

    x(−2xlog⁡(x)+x+14log⁡(x)−14)2\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 14 \log{\left(x \right)} - 14\right)}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(−2xlog⁡(x)+x+14log⁡(x)−14)2+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 14 \log{\left(x \right)} - 14\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(−2xlog⁡(x)+x+14log⁡(x)−14)2+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 14 \log{\left(x \right)} - 14\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           2                               
 |                           x           2                    
 | (7 - 2*x)*log(x) dx = C + -- - 7*x - x *log(x) + 7*x*log(x)
 |                           2                                
/
∫(7−2x)log⁡(x) dx=C−x2log⁡(x)+x22+7xlog⁡(x)−7x\int \left(7 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 7 x \log{\left(x \right)} - 7 x
Simplificar
Gráfica
1002003004005006007008009001000-100000005000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
488700 - 993000*log(1000) + 9300*log(100)
−993000log⁡(1000)+9300log⁡(100)+488700- 993000 \log{\left(1000 \right)} + 9300 \log{\left(100 \right)} + 488700 
=
= 
488700 - 993000*log(1000) + 9300*log(100)
−993000log⁡(1000)+9300log⁡(100)+488700- 993000 \log{\left(1000 \right)} + 9300 \log{\left(100 \right)} + 488700 
488700 - 993000*log(1000) + 9300*log(100)
Respuesta numérica [src] 
-6327872.90929957
-6327872.90929957

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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