Integral de (sqrt(x)-766*sqrt(2)/2835-368*sqrt(2)/945*x-sqrt(2)/189*x^2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{4 u^{9}}{35721} + \frac{2944 u^{7}}{178605} - \frac{4 \sqrt{2} u^{6}}{189} + \frac{1655728 u^{5}}{2679075} - \frac{1472 \sqrt{2} u^{4}}{945} + \frac{7613254 u^{3}}{2679075} - \frac{3064 \sqrt{2} u^{2}}{2835} + \frac{2347024 u}{8037225}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u^{9}}{35721}\, du = \frac{4 \int u^{9}\, du}{35721}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{10}}{178605}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2944 u^{7}}{178605}\, du = \frac{2944 \int u^{7}\, du}{178605}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{368 u^{8}}{178605}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4 \sqrt{2} u^{6}}{189}\right)\, du = - \frac{4 \sqrt{2} \int u^{6}\, du}{189}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sqrt{2} u^{7}}{1323}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1655728 u^{5}}{2679075}\, du = \frac{1655728 \int u^{5}\, du}{2679075}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{827864 u^{6}}{8037225}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1472 \sqrt{2} u^{4}}{945}\right)\, du = - \frac{1472 \sqrt{2} \int u^{4}\, du}{945}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1472 \sqrt{2} u^{5}}{4725}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{7613254 u^{3}}{2679075}\, du = \frac{7613254 \int u^{3}\, du}{2679075}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3806627 u^{4}}{5358150}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3064 \sqrt{2} u^{2}}{2835}\right)\, du = - \frac{3064 \sqrt{2} \int u^{2}\, du}{2835}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3064 \sqrt{2} u^{3}}{8505}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2347024 u}{8037225}\, du = \frac{2347024 \int u\, du}{8037225}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1173512 u^{2}}{8037225}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{10}}{178605} + \frac{368 u^{8}}{178605} - \frac{4 \sqrt{2} u^{7}}{1323} + \frac{827864 u^{6}}{8037225} - \frac{1472 \sqrt{2} u^{5}}{4725} + \frac{3806627 u^{4}}{5358150} - \frac{3064 \sqrt{2} u^{3}}{8505} + \frac{1173512 u^{2}}{8037225}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}}{1323} - \frac{1472 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{4725} - \frac{3064 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{8505} + \frac{2 x^{5}}{178605} + \frac{368 x^{4}}{178605} + \frac{827864 x^{3}}{8037225} + \frac{3806627 x^{2}}{5358150} + \frac{1173512 x}{8037225}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x^{2} \frac{\sqrt{2}}{189} + \left(- x \frac{368 \sqrt{2}}{945} + \left(\sqrt{x} - \frac{766 \sqrt{2}}{2835}\right)\right)\right)^{2} = - \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{189} - \frac{736 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{945} - \frac{1532 \sqrt{2} \sqrt{x}}{2835} + \frac{2 x^{4}}{35721} + \frac{1472 x^{3}}{178605} + \frac{827864 x^{2}}{2679075} + \frac{3806627 x}{2679075} + \frac{1173512}{8037225}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{189}\right)\, dx = - \frac{2 \sqrt{2} \int x^{\frac{5}{2}}\, dx}{189}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}}{1323}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{736 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{945}\right)\, dx = - \frac{736 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{945}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1472 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{4725}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1532 \sqrt{2} \sqrt{x}}{2835}\right)\, dx = - \frac{1532 \sqrt{2} \int \sqrt{x}\, dx}{2835}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3064 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{8505}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{4}}{35721}\, dx = \frac{2 \int x^{4}\, dx}{35721}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{5}}{178605}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1472 x^{3}}{178605}\, dx = \frac{1472 \int x^{3}\, dx}{178605}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{368 x^{4}}{178605}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{827864 x^{2}}{2679075}\, dx = \frac{827864 \int x^{2}\, dx}{2679075}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{827864 x^{3}}{8037225}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3806627 x}{2679075}\, dx = \frac{3806627 \int x\, dx}{2679075}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3806627 x^{2}}{5358150}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1173512}{8037225}\, dx = \frac{1173512 x}{8037225}$

      El resultado es: $- \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}}{1323} - \frac{1472 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{4725} - \frac{3064 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{8505} + \frac{2 x^{5}}{178605} + \frac{368 x^{4}}{178605} + \frac{827864 x^{3}}{8037225} + \frac{3806627 x^{2}}{5358150} + \frac{1173512 x}{8037225}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}}{1323} - \frac{1472 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{4725} - \frac{3064 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{8505} + \frac{2 x^{5}}{178605} + \frac{368 x^{4}}{178605} + \frac{827864 x^{3}}{8037225} + \frac{3806627 x^{2}}{5358150} + \frac{1173512 x}{8037225}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}}{1323} - \frac{1472 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{4725} - \frac{3064 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{8505} + \frac{2 x^{5}}{178605} + \frac{368 x^{4}}{178605} + \frac{827864 x^{3}}{8037225} + \frac{3806627 x^{2}}{5358150} + \frac{1173512 x}{8037225}+ \mathrm{constant}$