Integral de (4x^3-4x^2+6x-2)*(x^2-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{5} + 8 u^{4} + 10 u^{3} + 8 u^{2} + 2 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{5}\, du = 4 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{4}\, du = 8 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{3}\, du = 10 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{2}\, du = 8 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{6}}{3} + \frac{8 u^{5}}{5} + \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{8 u^{3}}{3} + u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{6}}{3} - \frac{8 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{8 x^{3}}{3} + x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - x\right) \left(\left(6 x + \left(4 x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) - 2\right) = 4 x^{5} - 8 x^{4} + 10 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{5}\, dx = 4 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{4}\right)\, dx = - 8 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{2}\right)\, dx = - 8 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{6}}{3} - \frac{8 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{8 x^{3}}{3} + x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(20 x^{4} - 48 x^{3} + 75 x^{2} - 80 x + 30\right)}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(20 x^{4} - 48 x^{3} + 75 x^{2} - 80 x + 30\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(20 x^{4} - 48 x^{3} + 75 x^{2} - 80 x + 30\right)}{30}+ \mathrm{constant}$