Integral de (2*x+5)/((5*x^2+1)^(1/2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x + 5}{\sqrt{5 x^{2} + 1}} = \frac{2 x}{\sqrt{5 x^{2} + 1}} + \frac{5}{\sqrt{5 x^{2} + 1}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{\sqrt{5 x^{2} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{5 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. que $u = 5 x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 10 x dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{1}{10 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{10}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{5 x^{2} + 1}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{5 x^{2} + 1}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5}{\sqrt{5 x^{2} + 1}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{5} x$.

         Luego que $du = \sqrt{5} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{5} du}{5}$:

         $\int \frac{1}{5 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \frac{\sqrt{5} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du}{5}$

            InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}$

   El resultado es: $\frac{2 \sqrt{5 x^{2} + 1}}{5} + \sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{5 x^{2} + 1}}{5} + \sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{5 x^{2} + 1}}{5} + \sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{5 x^{2} + 1}}{5} + \sqrt{5} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{5} x \right)}+ \mathrm{constant}$