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Resolución de integrales/ x*e^x/ (t-x)/ 2cos(t-x)x*e^x

Integral de 2cos(t-x)x*e^x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                     
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 |  2*cos(t - x)*x*E  dx
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0
∫0xexx2cos⁡(t−x) dx\int\limits_{0}^{x} e^{x} x 2 \cos{\left(t - x \right)}\, dx 
Integral(((2*cos(t - x))*x)*E^x, (x, 0, x))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=excos⁡(t−x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(t - x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando excos⁡(t−x)e^{x} \cos{\left(t - x \right)}:

        que u(x)=cos⁡(t−x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(t−x) dx=excos⁡(t−x)−∫exsin⁡(t−x) dx\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(t - x \right)} - \int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx.

      2. Para el integrando exsin⁡(t−x)e^{x} \sin{\left(t - x \right)}:

        que u(x)=sin⁡(t−x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)+∫(−excos⁡(t−x)) dx\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        2∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)2 \int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)}

        Por lo tanto,

        ∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)2+excos⁡(t−x)2\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - \frac{e^{x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−exsin⁡(t−x)) dx=−∫exsin⁡(t−x) dx\int \left(- e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\right)\, dx = - \int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando exsin⁡(t−x)e^{x} \sin{\left(t - x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(t−x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫exsin⁡(t−x) dx=exsin⁡(t−x)−∫(−excos⁡(t−x)) dx\int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(t - x \right)} - \int \left(- e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\right)\, dx.

        2. Para el integrando −excos⁡(t−x)- e^{x} \cos{\left(t - x \right)}:

          que u(x)=−cos⁡(t−x)u{\left(x \right)} = - \cos{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫exsin⁡(t−x) dx=exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)+∫(−exsin⁡(t−x)) dx\int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫exsin⁡(t−x) dx=exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)2 \int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)}

          Por lo tanto,

          ∫exsin⁡(t−x) dx=exsin⁡(t−x)2+excos⁡(t−x)2\int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −exsin⁡(t−x)2−excos⁡(t−x)2- \frac{e^{x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando excos⁡(t−x)e^{x} \cos{\left(t - x \right)}:

        que u(x)=cos⁡(t−x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(t−x) dx=excos⁡(t−x)−∫exsin⁡(t−x) dx\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(t - x \right)} - \int e^{x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx.

      2. Para el integrando exsin⁡(t−x)e^{x} \sin{\left(t - x \right)}:

        que u(x)=sin⁡(t−x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(t - x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)+∫(−excos⁡(t−x)) dx\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        2∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)+excos⁡(t−x)2 \int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{x} \cos{\left(t - x \right)}

        Por lo tanto,

        ∫excos⁡(t−x) dx=−exsin⁡(t−x)2+excos⁡(t−x)2\int e^{x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx = - \frac{e^{x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}

    El resultado es: −exsin⁡(t−x)- e^{x} \sin{\left(t - x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (2xcos⁡(t−x+π4)+sin⁡(t−x))ex\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right) e^{x}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (2xcos⁡(t−x+π4)+sin⁡(t−x))ex+constant\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2xcos⁡(t−x+π4)+sin⁡(t−x))ex+constant\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                                /            x    x           \
 |                 x           x                  |cos(t - x)*e    e *sin(t - x)|
 | 2*cos(t - x)*x*E  dx = C + e *sin(t - x) + 2*x*|------------- - -------------|
 |                                                \      2               2      /
/
∫exx2cos⁡(t−x) dx=C+2x(−exsin⁡(t−x)2+excos⁡(t−x)2)+exsin⁡(t−x)\int e^{x} x 2 \cos{\left(t - x \right)}\, dx = C + 2 x \left(- \frac{e^{x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}\right) + e^{x} \sin{\left(t - x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
           x                            x      x           
-sin(t) + e *sin(t - x) + x*cos(t - x)*e  - x*e *sin(t - x)
−xexsin⁡(t−x)+xexcos⁡(t−x)+exsin⁡(t−x)−sin⁡(t)- x e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + x e^{x} \cos{\left(t - x \right)} + e^{x} \sin{\left(t - x \right)} - \sin{\left(t \right)} 
=
= 
           x                            x      x           
-sin(t) + e *sin(t - x) + x*cos(t - x)*e  - x*e *sin(t - x)
−xexsin⁡(t−x)+xexcos⁡(t−x)+exsin⁡(t−x)−sin⁡(t)- x e^{x} \sin{\left(t - x \right)} + x e^{x} \cos{\left(t - x \right)} + e^{x} \sin{\left(t - x \right)} - \sin{\left(t \right)} 
-sin(t) + exp(x)*sin(t - x) + x*cos(t - x)*exp(x) - x*exp(x)*sin(t - x)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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