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Resolución de integrales/ √1+√x/ x*2/(√1+√x^2)

Integral de x*2/(√1+√x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |       x*2         
 |  -------------- dx
 |               2   
 |    ___     ___    
 |  \/ 1  + \/ x     
 |                   
/                    
0
∫012x(x)2+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} + \sqrt{1}}\, dx 
Integral((x*2)/(sqrt(1) + (sqrt(x))^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 4du4 du:

      ∫4u3u2+1 du\int \frac{4 u^{3}}{u^{2} + 1}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3u2+1 du=4∫u3u2+1 du\int \frac{u^{3}}{u^{2} + 1}\, du = 4 \int \frac{u^{3}}{u^{2} + 1}\, du

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos dudu:

          ∫u2u+2 du\int \frac{u}{2 u + 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+2=12−12(u+1)\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

            El resultado es: u2−log⁡(u+1)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u22−log⁡(u2+1)2\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2u2−2log⁡(u2+1)2 u^{2} - 2 \log{\left(u^{2} + 1 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2x−2log⁡(x+1)2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(x)2+1=2xx+1\frac{2 x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} + \sqrt{1}} = \frac{2 x}{x + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2xx+1 dx=2∫xx+1 dx\int \frac{2 x}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x + 1}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2x−2log⁡(x+1)2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(x)2+1=2xx+1\frac{2 x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} + \sqrt{1}} = \frac{2 x}{x + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2xx+1 dx=2∫xx+1 dx\int \frac{2 x}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x + 1}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2x−2log⁡(x+1)2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x−2log⁡(x+1)+constant2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x−2log⁡(x+1)+constant2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 |      x*2                                  
 | -------------- dx = C - 2*log(1 + x) + 2*x
 |              2                            
 |   ___     ___                             
 | \/ 1  + \/ x                              
 |                                           
/
∫2x(x)2+1 dx=C+2x−2log⁡(x+1)\int \frac{2 x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} + \sqrt{1}}\, dx = C + 2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 - 2*log(2)
2−2log⁡(2)2 - 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
2 - 2*log(2)
2−2log⁡(2)2 - 2 \log{\left(2 \right)} 
2 - 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.613705638880109
0.613705638880109

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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