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Resolución de integrales/ 1-x^2/ arccos/ sqrt1-x/ 2^(p-arccosx)/sqrt1-x^2

Integral de 2^(p-arccosx)/sqrt1-x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1/2                      
  /                       
 |                        
 |  / p - acos(x)     \   
 |  |2               2|   
 |  |------------ - x | dx
 |  |     ___         |   
 |  \   \/ 1          /   
 |                        
/                         
0
∫012(2p−acos⁡(x)1−x2) dx\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{2^{p - \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\sqrt{1}} - x^{2}\right)\, dx 
Integral(2^(p - acos(x))/sqrt(1) - x^2, (x, 0, 1/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2p−acos⁡(x)1 dx=∫2p−acos⁡(x) dx\int \frac{2^{p - \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\sqrt{1}}\, dx = \int 2^{p - \operatorname{acos}{\left(x \right)}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        2px2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)+2p1−x2log⁡(2)2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)\frac{2^{p} x}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} + \frac{2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(2 \right)}}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}}

      Por lo tanto, el resultado es: 2px2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)+2p1−x2log⁡(2)2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)\frac{2^{p} x}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} + \frac{2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(2 \right)}}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

    El resultado es: 2px2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)+2p1−x2log⁡(2)2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)−x33\frac{2^{p} x}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} + \frac{2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(2 \right)}}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} - \frac{x^{3}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    2−acos⁡(x)(3⋅2px+2p1−x2log⁡(8)−2acos⁡(x)x3(log⁡(2)2+1))3(log⁡(2)2+1)\frac{2^{- \operatorname{acos}{\left(x \right)}} \left(3 \cdot 2^{p} x + 2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(8 \right)} - 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} x^{3} \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)\right)}{3 \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2−acos⁡(x)(3⋅2px+2p1−x2log⁡(8)−2acos⁡(x)x3(log⁡(2)2+1))3(log⁡(2)2+1)+constant\frac{2^{- \operatorname{acos}{\left(x \right)}} \left(3 \cdot 2^{p} x + 2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(8 \right)} - 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} x^{3} \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)\right)}{3 \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2−acos⁡(x)(3⋅2px+2p1−x2log⁡(8)−2acos⁡(x)x3(log⁡(2)2+1))3(log⁡(2)2+1)+constant\frac{2^{- \operatorname{acos}{\left(x \right)}} \left(3 \cdot 2^{p} x + 2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(8 \right)} - 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} x^{3} \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)\right)}{3 \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                           
 |                                                                          ________          
 | / p - acos(x)     \           3                  p                  p   /      2           
 | |2               2|          x                x*2                  2 *\/  1 - x  *log(2)   
 | |------------ - x | dx = C - -- + --------------------------- + ---------------------------
 | |     ___         |          3     acos(x)    acos(x)    2       acos(x)    acos(x)    2   
 | \   \/ 1          /               2        + 2       *log (2)   2        + 2       *log (2)
 |                                                                                            
/
∫(2p−acos⁡(x)1−x2) dx=2px2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)+2p1−x2log⁡(2)2acos⁡(x)log⁡(2)2+2acos⁡(x)+C−x33\int \left(\frac{2^{p - \operatorname{acos}{\left(x \right)}}}{\sqrt{1}} - x^{2}\right)\, dx = \frac{2^{p} x}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} + \frac{2^{p} \sqrt{1 - x^{2}} \log{\left(2 \right)}}{2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}} + C - \frac{x^{3}}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
                  p                 p                  p   ___          
  1              2                 2 *log(2)          2 *\/ 3 *log(2)   
- -- + --------------------- - ----------------- + ---------------------
  24     / pi    pi        \    pi    pi             / pi    pi        \
         | --    --        |    --    --             | --    --        |
         | 3     3     2   |    2     2     2        | 3     3     2   |
       2*\2   + 2  *log (2)/   2   + 2  *log (2)   2*\2   + 2  *log (2)/
−2plog⁡(2)2π2log⁡(2)2+2π2+2p2(2π3log⁡(2)2+2π3)+2p3log⁡(2)2(2π3log⁡(2)2+2π3)−124- \frac{2^{p} \log{\left(2 \right)}}{2^{\frac{\pi}{2}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{2}}} + \frac{2^{p}}{2 \left(2^{\frac{\pi}{3}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{3}}\right)} + \frac{2^{p} \sqrt{3} \log{\left(2 \right)}}{2 \left(2^{\frac{\pi}{3}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{3}}\right)} - \frac{1}{24} 
=
= 
                  p                 p                  p   ___          
  1              2                 2 *log(2)          2 *\/ 3 *log(2)   
- -- + --------------------- - ----------------- + ---------------------
  24     / pi    pi        \    pi    pi             / pi    pi        \
         | --    --        |    --    --             | --    --        |
         | 3     3     2   |    2     2     2        | 3     3     2   |
       2*\2   + 2  *log (2)/   2   + 2  *log (2)   2*\2   + 2  *log (2)/
−2plog⁡(2)2π2log⁡(2)2+2π2+2p2(2π3log⁡(2)2+2π3)+2p3log⁡(2)2(2π3log⁡(2)2+2π3)−124- \frac{2^{p} \log{\left(2 \right)}}{2^{\frac{\pi}{2}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{2}}} + \frac{2^{p}}{2 \left(2^{\frac{\pi}{3}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{3}}\right)} + \frac{2^{p} \sqrt{3} \log{\left(2 \right)}}{2 \left(2^{\frac{\pi}{3}} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2^{\frac{\pi}{3}}\right)} - \frac{1}{24} 
-1/24 + 2^p/(2*(2^(pi/3) + 2^(pi/3)*log(2)^2)) - 2^p*log(2)/(2^(pi/2) + 2^(pi/2)*log(2)^2) + 2^p*sqrt(3)*log(2)/(2*(2^(pi/3) + 2^(pi/3)*log(2)^2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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