Integral de Arccosx/sqrt(1-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$