Sr Examen

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Resolución de integrales/ 1-x^2/ cosx// arccos/ arccosx/(1-x^2)^1/2

Integral de arccosx/(1-x^2)^1/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    acos(x)     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0
∫01acos⁡(x)1−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx 
Integral(acos(x)/sqrt(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=acos⁡(x)u = \operatorname{acos}{\left(x \right)}.

      Luego que du=−dx1−x2du = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos −du- du:

      ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acos⁡2(x)2- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=acos⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=11−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−11−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=11−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−11−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=11−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−11−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=11−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−11−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    5. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−asin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=11−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Entonces du⁡(x)=−11−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−asin⁡(x)1−x2) dx=−∫asin⁡(x)1−x2 dx\int \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

      1. que u=asin⁡(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}.

        Luego que du=dx1−x2du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} y ponemos dudu:

        ∫u du\int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        asin⁡2(x)2\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡2(x)2- \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −acos⁡2(x)2+constant- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−acos⁡2(x)2+constant- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                          2   
 |   acos(x)            acos (x)
 | ----------- dx = C - --------
 |    ________             2    
 |   /      2                   
 | \/  1 - x                    
 |                              
/
∫acos⁡(x)1−x2 dx=C−acos⁡2(x)2\int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = C - \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  2
pi 
---
 8
π28\frac{\pi^{2}}{8} 
=
= 
  2
pi 
---
 8
π28\frac{\pi^{2}}{8} 
pi^2/8
Respuesta numérica [src] 
1.23370055013617
1.23370055013617

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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