Integral de cos^4(7x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos^{4}{\left(7 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 28 x$.

                  Luego que $du = 28 dx$ y ponemos $\frac{du}{28}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 14 x$.

            Luego que $du = 14 dx$ y ponemos $\frac{du}{14}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 28 x$.

                  Luego que $du = 28 dx$ y ponemos $\frac{du}{28}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 14 x$.

            Luego que $du = 14 dx$ y ponemos $\frac{du}{14}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}$