Integral de x/(sqrt(4x^2+1)^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}} = \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + 1} + 2 \sqrt{4 u + 1}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{4 u + 1}$.

         Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 1}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + 1}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}} = \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + 1} + 2 \sqrt{4 u + 1}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{4 u + 1}$.

         Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 1}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + 1}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$