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Resolución de integrales/ (x+4)/ cos3x/ (x+4)cos3xdx

Integral de (x+4)cos3xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x + 4)*cos(3*x) dx
 |                     
/                      
0
∫01(x+4)cos⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 4\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((x + 4)*cos(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+4)cos⁡(3x)=xcos⁡(3x)+4cos⁡(3x)\left(x + 4\right) \cos{\left(3 x \right)} = x \cos{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡(3x) dx=4∫cos⁡(3x) dx\int 4 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(3x)3\frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: xsin⁡(3x)3+4sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)9\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+4u{\left(x \right)} = x + 4 y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+4)cos⁡(3x)=xcos⁡(3x)+4cos⁡(3x)\left(x + 4\right) \cos{\left(3 x \right)} = x \cos{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡(3x) dx=4∫cos⁡(3x) dx\int 4 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(3x)3\frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: xsin⁡(3x)3+4sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)9\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(3x)3+4sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)9+constant\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(3x)3+4sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)9+constant\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                           cos(3*x)   4*sin(3*x)   x*sin(3*x)
 | (x + 4)*cos(3*x) dx = C + -------- + ---------- + ----------
 |                              9           3            3     
/
∫(x+4)cos⁡(3x) dx=C+xsin⁡(3x)3+4sin⁡(3x)3+cos⁡(3x)9\int \left(x + 4\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   cos(3)   5*sin(3)
- - + ------ + --------
  9     9         3
−19+cos⁡(3)9+5sin⁡(3)3- \frac{1}{9} + \frac{\cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{3} 
=
= 
  1   cos(3)   5*sin(3)
- - + ------ + --------
  9     9         3
−19+cos⁡(3)9+5sin⁡(3)3- \frac{1}{9} + \frac{\cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{3} 
-1/9 + cos(3)/9 + 5*sin(3)/3
Respuesta numérica [src] 
0.0140897360330625
0.0140897360330625

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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