Integral de 3^(5x-4)-((5)/(x+4))+7*sin(8*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 5 x - 4$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3^{5 x - 4}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $3^{5 x - 4} = \frac{3^{5 x}}{81}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3^{5 x}}{81}\, dx = \frac{\int 3^{5 x}\, dx}{81}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{5 x}}{405 \log{\left(3 \right)}}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $3^{5 x - 4} = \frac{3^{5 x}}{81}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3^{5 x}}{81}\, dx = \frac{\int 3^{5 x}\, dx}{81}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{5 x}}{405 \log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5}{x + 4}\right)\, dx = - 5 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. que $u = x + 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \log{\left(x + 4 \right)}$

      El resultado es: $\frac{3^{5 x - 4}}{5 \log{\left(3 \right)}} - 5 \log{\left(x + 4 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 7 \sin{\left(8 x \right)}\, dx = 7 \int \sin{\left(8 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 8 x$.

         Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{8}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{8}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \cos{\left(8 x \right)}}{8}$

   El resultado es: $\frac{3^{5 x - 4}}{5 \log{\left(3 \right)}} - 5 \log{\left(x + 4 \right)} - \frac{7 \cos{\left(8 x \right)}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8 \cdot 243^{x} - \left(40 \log{\left(x + 4 \right)} + 7 \cos{\left(8 x \right)}\right) \log{\left(17143842234032458148128817992952155480611431755907317730377707239850686789034653000048769542655653600431653417362561486583663939716453369706677255522452067457794349333673756105763717850183384243 \right)}}{3240 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \cdot 243^{x} - \left(40 \log{\left(x + 4 \right)} + 7 \cos{\left(8 x \right)}\right) \log{\left(17143842234032458148128817992952155480611431755907317730377707239850686789034653000048769542655653600431653417362561486583663939716453369706677255522452067457794349333673756105763717850183384243 \right)}}{3240 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \cdot 243^{x} - \left(40 \log{\left(x + 4 \right)} + 7 \cos{\left(8 x \right)}\right) \log{\left(17143842234032458148128817992952155480611431755907317730377707239850686789034653000048769542655653600431653417362561486583663939716453369706677255522452067457794349333673756105763717850183384243 \right)}}{3240 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$