Integral de (2-4x^3)^(1/5)*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - 4 x^{3}$.

      Luego que $du = - 12 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt[5]{u}}{12}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt[5]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[5]{u}\, du}{12}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{72}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 \left(2 - 4 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{72}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \sqrt[5]{2 - 4 x^{3}} = \sqrt[5]{2} x^{2} \sqrt[5]{1 - 2 x^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt[5]{2} x^{2} \sqrt[5]{1 - 2 x^{3}}\, dx = \sqrt[5]{2} \int x^{2} \sqrt[5]{1 - 2 x^{3}}\, dx$

      1. que $u = 1 - 2 x^{3}$.

         Luego que $du = - 6 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt[5]{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt[5]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[5]{u}\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{36}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{5 \left(1 - 2 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{36}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sqrt[5]{2} \left(1 - 2 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{36}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{5 \sqrt[5]{2} \left(1 - 2 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5 \sqrt[5]{2} \left(1 - 2 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5 \sqrt[5]{2} \left(1 - 2 x^{3}\right)^{\frac{6}{5}}}{36}+ \mathrm{constant}$