Integral de x*(√1+√x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{5} + 2 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{5}\, du = 2 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{3} + \frac{u^{4}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + \sqrt{1}\right) = x^{2} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 x + 3\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 x + 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 x + 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}$