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Resolución de integrales/ sin^4/ sin^4(x/2)

Integral de sin^4(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0
∫0πsin⁡4(x2) dx\int\limits_{0}^{\pi} \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(sin(x/2)^4, (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(x2)=(12−cos⁡(x)2)2\sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(x)2)2=cos⁡2(x)4−cos⁡(x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)4 dx=∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(2x)16\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)2) dx=−∫cos⁡(x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)2- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(x)2)2=cos⁡2(x)4−cos⁡(x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)4 dx=∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(2x)16\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)2) dx=−∫cos⁡(x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)2- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8−sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8−sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
 | sin |-| dx = C - ------ + -------- + ---
 |     \2/            2         16       8 
 |                                         
/
∫sin⁡4(x2) dx=C+3x8−sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\int \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.0002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3*pi
----
 8
3π8\frac{3 \pi}{8} 
=
= 
3*pi
----
 8
3π8\frac{3 \pi}{8} 
3*pi/8
Respuesta numérica [src] 
1.17809724509617
1.17809724509617

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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