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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ (sin(2*x))^6

Integral de (sin(2*x))^6 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  sin (2*x) dx
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0
∫00sin⁡6(2x) dx\int\limits_{0}^{0} \sin^{6}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(sin(2*x)^6, (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡6(2x)=(12−cos⁡(4x)2)3\sin^{6}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{3}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)3=−cos⁡3(4x)8+3cos⁡2(4x)8−3cos⁡(4x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(4x)8) dx=−∫cos⁡3(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(4x)=(1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

            Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(14−u24) du\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u24) du=−∫u2 du4\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u312- \frac{u^{3}}{12}

              El resultado es: −u312+u4- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)=−sin⁡2(4x)cos⁡(4x)+cos⁡(4x)\left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(4x)cos⁡(4x)) dx=−∫sin⁡2(4x)cos⁡(4x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

                Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫u24 du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du4\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u312\frac{u^{3}}{12}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(4x)12\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(4x)12- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            El resultado es: −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)=−sin⁡2(4x)cos⁡(4x)+cos⁡(4x)\left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(4x)cos⁡(4x)) dx=−∫sin⁡2(4x)cos⁡(4x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

                Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫u24 du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du4\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u312\frac{u^{3}}{12}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(4x)12\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(4x)12- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            El resultado es: −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)32\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(4x)8 dx=3∫cos⁡2(4x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(8x)128\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(4x)8) dx=−3∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(4x)32- \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: 5x16+sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)8+3sin⁡(8x)128\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)3=−cos⁡3(4x)8+3cos⁡2(4x)8−3cos⁡(4x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(4x)8) dx=−∫cos⁡3(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(4x)=(1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}

        2. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

          Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(14−u24) du\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u24) du=−∫u2 du4\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u312- \frac{u^{3}}{12}

            El resultado es: −u312+u4- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)32\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(4x)8 dx=3∫cos⁡2(4x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(8x)128\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(4x)8) dx=−3∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(4x)32- \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: 5x16+sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)8+3sin⁡(8x)128\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5x16+sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)8+3sin⁡(8x)128+constant\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5x16+sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)8+3sin⁡(8x)128+constant\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                  3                        
 |    6               sin(4*x)   sin (4*x)   3*sin(8*x)   5*x
 | sin (2*x) dx = C - -------- + --------- + ---------- + ---
 |                       8           96         128        16
/
∫sin⁡6(2x) dx=C+5x16+sin⁡3(4x)96−sin⁡(4x)8+3sin⁡(8x)128\int \sin^{6}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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