Sr Examen

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Integral de sin(log(x))/x2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1               
  /               
 |                
 |  sin(log(x))   
 |  ----------- dx
 |       x2       
 |                
/                 
0                 
01sin(log(x))x2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x_{2}}\, dx
Integral(sin(log(x))/x2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    sin(log(x))x2dx=sin(log(x))dxx2\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x_{2}}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx}{x_{2}}

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando eusin(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

          que u(u)=sin(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

        2. Para el integrando eucos(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

          que u(u)=cos(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)+(eusin(u))du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto,

          eusin(u)du=eusin(u)2eucos(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin(log(x))2xcos(log(x))2\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: xsin(log(x))2xcos(log(x))2x2\frac{\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}}{x_{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2xcos(log(x)+π4)2x2- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x_{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2xcos(log(x)+π4)2x2+constant- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x_{2}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2xcos(log(x)+π4)2x2+constant- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x_{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                     x*sin(log(x))   x*cos(log(x))
 |                      ------------- - -------------
 | sin(log(x))                2               2      
 | ----------- dx = C + -----------------------------
 |      x2                            x2             
 |                                                   
/                                                    
sin(log(x))x2dx=C+xsin(log(x))2xcos(log(x))2x2\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x_{2}}\, dx = C + \frac{\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}}{x_{2}}
Respuesta [src]
-1  
----
2*x2
12x2- \frac{1}{2 x_{2}}
=
=
-1  
----
2*x2
12x2- \frac{1}{2 x_{2}}
-1/(2*x2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.