Integral de log(logx) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int e^{u} \log{\left(u \right)}\, du$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = e^{u}$.

               Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $e^{e^{u}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{u} \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$