Integral de dx/xlog(log(logx)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u} \log{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int e^{u} \log{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \log{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. que $u = e^{u}$.

                        Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

                        $\int e^{u}\, du$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $e^{e^{u}}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. que $u = e^{u}$.

                     Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

                     EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $e^{u} \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u} \log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u} \log{\left(u \right)}\, du$

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = e^{u}$.

               Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $e^{e^{u}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{u} \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$