Integral de 3*sin(pi*x/4)+x^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx$

      1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

         $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$