Integral de sqr(1+(e^(x/20)/2+e/2)^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{\frac{x}{20}}$.

      Luego que $du = \frac{e^{\frac{x}{20}} dx}{20}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{5 u^{4} + 20 e u^{3} + 40 u^{2} + 30 u^{2} e^{2} + 80 e u + 20 u e^{3} + 80 + 5 e^{4} + 40 e^{2}}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 u^{4} + 20 u^{3} e + 40 u^{2} + 30 u^{2} e^{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 80 + 5 e^{4} + 40 e^{2}}{u}\, du = \frac{\int \frac{5 u^{4} + 20 u^{3} e + 40 u^{2} + 30 u^{2} e^{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 80 + 5 e^{4} + 40 e^{2}}{u}\, du}{4}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{5 u^{4} + 20 u^{3} e + 40 u^{2} + 30 u^{2} e^{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 80 + 5 e^{4} + 40 e^{2}}{u} = 5 u^{3} + 20 u^{2} e + u \left(40 + 30 e^{2}\right) + 80 e + 20 e^{3} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2}}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 20 u^{2} e\, du = 20 e \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 u^{3} e}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u \left(40 + 30 e^{2}\right)\, du = \left(40 + 30 e^{2}\right) \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \left(40 + 30 e^{2}\right)}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 80 e\, du = 80 u e$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 20 e^{3}\, du = 20 u e^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2}}{u}\, du = 5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3} e}{3} + \frac{u^{2} \left(40 + 30 e^{2}\right)}{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(u \right)}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{5 u^{4} + 20 u^{3} e + 40 u^{2} + 30 u^{2} e^{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 80 + 5 e^{4} + 40 e^{2}}{u} = 5 u^{3} + 20 u^{2} e + 40 u + 30 u e^{2} + 80 e + 20 e^{3} + \frac{80}{u} + \frac{5 e^{4}}{u} + \frac{40 e^{2}}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 20 u^{2} e\, du = 20 e \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 u^{3} e}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 40 u\, du = 40 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $20 u^{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 30 u e^{2}\, du = 30 e^{2} \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $15 u^{2} e^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 80 e\, du = 80 u e$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 20 e^{3}\, du = 20 u e^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{80}{u}\, du = 80 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $80 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5 e^{4}}{u}\, du = 5 e^{4} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{4} \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{40 e^{2}}{u}\, du = 40 e^{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $40 e^{2} \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3} e}{3} + 20 u^{2} + 15 u^{2} e^{2} + 80 u e + 20 u e^{3} + 80 \log{\left(u \right)} + 5 e^{4} \log{\left(u \right)} + 40 e^{2} \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{16} + \frac{5 u^{3} e}{3} + \frac{u^{2} \left(40 + 30 e^{2}\right)}{8} + 20 u e + 5 u e^{3} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 e e^{\frac{3 x}{20}}}{3} + \frac{\left(40 + 30 e^{2}\right) e^{\frac{x}{10}}}{8} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16} + 20 e e^{\frac{x}{20}} + 5 e^{3} e^{\frac{x}{20}} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(e^{\frac{x}{20}} \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(\frac{e^{\frac{x}{20}}}{2} + \frac{e}{2}\right)^{2} + 1\right)^{2} = \frac{e e^{\frac{3 x}{20}}}{4} + e e^{\frac{x}{20}} + \frac{e^{3} e^{\frac{x}{20}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{10}}}{2} + \frac{3 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{8} + \frac{e^{\frac{x}{5}}}{16} + 1 + \frac{e^{4}}{16} + \frac{e^{2}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e e^{\frac{3 x}{20}}}{4}\, dx = \frac{e \int e^{\frac{3 x}{20}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{3 x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{3 dx}{20}$ y ponemos $\frac{20 du}{3}$:

            $\int \frac{20 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{20 e^{\frac{3 x}{20}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e e^{\frac{3 x}{20}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{\frac{x}{20}}\, dx = e \int e^{\frac{x}{20}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{20}$ y ponemos $20 du$:

            $\int 20 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $20 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $20 e^{\frac{x}{20}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $20 e e^{\frac{x}{20}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3} e^{\frac{x}{20}}}{4}\, dx = \frac{e^{3} \int e^{\frac{x}{20}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{20}$ y ponemos $20 du$:

            $\int 20 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $20 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $20 e^{\frac{x}{20}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{3} e^{\frac{x}{20}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{x}{10}}}{2}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{10}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{x}{10}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{10}$ y ponemos $10 du$:

            $\int 10 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $10 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $10 e^{\frac{x}{10}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{\frac{x}{10}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{8}\, dx = \frac{3 e^{2} \int e^{\frac{x}{10}}\, dx}{8}$

         1. que $u = \frac{x}{10}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{10}$ y ponemos $10 du$:

            $\int 10 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $10 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $10 e^{\frac{x}{10}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{x}{5}}}{16}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{5}}\, dx}{16}$

         1. que $u = \frac{x}{5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

            $\int 5 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $5 e^{\frac{x}{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{e^{4}}{16}\, dx = \frac{x e^{4}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{e^{2}}{2}\, dx = \frac{x e^{2}}{2}$

      El resultado es: $x + \frac{x e^{4}}{16} + \frac{x e^{2}}{2} + \frac{5 e e^{\frac{3 x}{20}}}{3} + 20 e e^{\frac{x}{20}} + 5 e^{3} e^{\frac{x}{20}} + 5 e^{\frac{x}{10}} + \frac{15 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{4} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(\frac{e^{\frac{x}{20}}}{2} + \frac{e}{2}\right)^{2} + 1\right)^{2} = \frac{e e^{\frac{3 x}{20}}}{4} + e e^{\frac{x}{20}} + \frac{e^{3} e^{\frac{x}{20}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{10}}}{2} + \frac{3 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{8} + \frac{e^{\frac{x}{5}}}{16} + 1 + \frac{e^{4}}{16} + \frac{e^{2}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e e^{\frac{3 x}{20}}}{4}\, dx = \frac{e \int e^{\frac{3 x}{20}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{3 x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{3 dx}{20}$ y ponemos $\frac{20 du}{3}$:

            $\int \frac{20 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{20 e^{\frac{3 x}{20}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e e^{\frac{3 x}{20}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{\frac{x}{20}}\, dx = e \int e^{\frac{x}{20}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{20}$ y ponemos $20 du$:

            $\int 20 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $20 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $20 e^{\frac{x}{20}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $20 e e^{\frac{x}{20}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3} e^{\frac{x}{20}}}{4}\, dx = \frac{e^{3} \int e^{\frac{x}{20}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{x}{20}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{20}$ y ponemos $20 du$:

            $\int 20 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $20 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $20 e^{\frac{x}{20}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{3} e^{\frac{x}{20}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{x}{10}}}{2}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{10}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{x}{10}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{10}$ y ponemos $10 du$:

            $\int 10 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $10 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $10 e^{\frac{x}{10}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{\frac{x}{10}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{8}\, dx = \frac{3 e^{2} \int e^{\frac{x}{10}}\, dx}{8}$

         1. que $u = \frac{x}{10}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{10}$ y ponemos $10 du$:

            $\int 10 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $10 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $10 e^{\frac{x}{10}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{x}{5}}}{16}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{5}}\, dx}{16}$

         1. que $u = \frac{x}{5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

            $\int 5 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $5 e^{\frac{x}{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{e^{4}}{16}\, dx = \frac{x e^{4}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{e^{2}}{2}\, dx = \frac{x e^{2}}{2}$

      El resultado es: $x + \frac{x e^{4}}{16} + \frac{x e^{2}}{2} + \frac{5 e e^{\frac{3 x}{20}}}{3} + 20 e e^{\frac{x}{20}} + 5 e^{3} e^{\frac{x}{20}} + 5 e^{\frac{x}{10}} + \frac{15 e^{2} e^{\frac{x}{10}}}{4} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \left(4 + 3 e^{2}\right) e^{\frac{x}{10}}}{4} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16} + 20 e^{\frac{x}{20} + 1} + 5 e^{\frac{x}{20} + 3} + \frac{5 e^{\frac{3 x}{20} + 1}}{3} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(e^{\frac{x}{20}} \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \left(4 + 3 e^{2}\right) e^{\frac{x}{10}}}{4} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16} + 20 e^{\frac{x}{20} + 1} + 5 e^{\frac{x}{20} + 3} + \frac{5 e^{\frac{3 x}{20} + 1}}{3} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(e^{\frac{x}{20}} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \left(4 + 3 e^{2}\right) e^{\frac{x}{10}}}{4} + \frac{5 e^{\frac{x}{5}}}{16} + 20 e^{\frac{x}{20} + 1} + 5 e^{\frac{x}{20} + 3} + \frac{5 e^{\frac{3 x}{20} + 1}}{3} + \frac{5 \left(4 + e^{2}\right)^{2} \log{\left(e^{\frac{x}{20}} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$