Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ lnx^2/ 2+lnx/ (x^2+lnx^2)x

Integral de (x^2+lnx^2)x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                    
  /                    
 |                     
 |  / 2      2   \     
 |  \x  + log (x)/*x dx
 |                     
/                      
1
∫13x(x2+log⁡(x)2) dx\int\limits_{1}^{3} x \left(x^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx 
Integral((x^2 + log(x)^2)*x, (x, 1, 3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(u2e2u+e4u) du\int \left(u^{2} e^{2 u} + e^{4 u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        1. que u=4uu = 4 u.

          Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

        El resultado es: u2e2u2−ue2u2+e4u4+e2u4\frac{u^{2} e^{2 u}}{2} - \frac{u e^{2 u}}{2} + \frac{e^{4 u}}{4} + \frac{e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x44+x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x2+log⁡(x)2)=x3+xlog⁡(x)2x \left(x^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}\right) = x^{3} + x \log{\left(x \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      El resultado es: x44+x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x2+log⁡(x)2)=x3+xlog⁡(x)2x \left(x^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}\right) = x^{3} + x \log{\left(x \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      El resultado es: x44+x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(x2+2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(x2+2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(x2+2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                            2    4    2    2       2       
 | / 2      2   \            x    x    x *log (x)   x *log(x)
 | \x  + log (x)/*x dx = C + -- + -- + ---------- - ---------
 |                           4    4        2            2    
/
∫x(x2+log⁡(x)2) dx=C+x44+x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\int x \left(x^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.8050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta numérica [src] 
22.4875150246501
22.4875150246501

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор