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Resolución de integrales/ exp(-3*x)*(2-9x)

Integral de exp(-3*x)*(2-9x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |   -3*x             
 |  e    *(2 - 9*x) dx
 |                    
/                     
0
∫01(2−9x)e−3x dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 - 9 x\right) e^{- 3 x}\, dx 
Integral(exp(-3*x)*(2 - 9*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−3xu = - 3 x.

      Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(−ueu−2eu3) du\int \left(- u e^{u} - \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ueu) du=−∫ueu du\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −ueu+eu- u e^{u} + e^{u}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2eu3) du=−2∫eu du3\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int e^{u}\, du}{3}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu3- \frac{2 e^{u}}{3}

        El resultado es: −ueu+eu3- u e^{u} + \frac{e^{u}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3xe−3x+e−3x33 x e^{- 3 x} + \frac{e^{- 3 x}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−9x)e−3x=−(9x−2)e−3x\left(2 - 9 x\right) e^{- 3 x} = - \left(9 x - 2\right) e^{- 3 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−(9x−2)e−3x) dx=−∫(9x−2)e−3x dx\int \left(- \left(9 x - 2\right) e^{- 3 x}\right)\, dx = - \int \left(9 x - 2\right) e^{- 3 x}\, dx

      1. que u=−3xu = - 3 x.

        Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos dudu:

        ∫(ueu+2eu3) du\int \left(u e^{u} + \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu3 du=2∫eu du3\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du = \frac{2 \int e^{u}\, du}{3}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu3\frac{2 e^{u}}{3}

          El resultado es: ueu−eu3u e^{u} - \frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3xe−3x−e−3x3- 3 x e^{- 3 x} - \frac{e^{- 3 x}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 3xe−3x+e−3x33 x e^{- 3 x} + \frac{e^{- 3 x}}{3}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2−9xu{\left(x \right)} = 2 - 9 x y que dv⁡(x)=e−3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}.

      Entonces du⁡(x)=−9\operatorname{du}{\left(x \right)} = -9.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−3xu = - 3 x.

        Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−3x3- \frac{e^{- 3 x}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3e−3x dx=3∫e−3x dx\int 3 e^{- 3 x}\, dx = 3 \int e^{- 3 x}\, dx

      1. que u=−3xu = - 3 x.

        Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−3x3- \frac{e^{- 3 x}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −e−3x- e^{- 3 x}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−9x)e−3x=−9xe−3x+2e−3x\left(2 - 9 x\right) e^{- 3 x} = - 9 x e^{- 3 x} + 2 e^{- 3 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9xe−3x) dx=−9∫xe−3x dx\int \left(- 9 x e^{- 3 x}\right)\, dx = - 9 \int x e^{- 3 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−3xu = - 3 x.

            Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

            ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−3x3- \frac{e^{- 3 x}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−3x3) dx=−∫e−3x dx3\int \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 3 x}\, dx}{3}

          1. que u=−3xu = - 3 x.

            Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

            ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−3x3- \frac{e^{- 3 x}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e−3x9\frac{e^{- 3 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xe−3x+e−3x3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e−3x dx=2∫e−3x dx\int 2 e^{- 3 x}\, dx = 2 \int e^{- 3 x}\, dx

        1. que u=−3xu = - 3 x.

          Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−3x3- \frac{e^{- 3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2e−3x3- \frac{2 e^{- 3 x}}{3}

      El resultado es: 3xe−3x+e−3x33 x e^{- 3 x} + \frac{e^{- 3 x}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    (9x+1)e−3x3\frac{\left(9 x + 1\right) e^{- 3 x}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (9x+1)e−3x3+constant\frac{\left(9 x + 1\right) e^{- 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(9x+1)e−3x3+constant\frac{\left(9 x + 1\right) e^{- 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                           -3*x            
 |  -3*x                    e            -3*x
 | e    *(2 - 9*x) dx = C + ----- + 3*x*e    
 |                            3              
/
∫(2−9x)e−3x dx=C+3xe−3x+e−3x3\int \left(2 - 9 x\right) e^{- 3 x}\, dx = C + 3 x e^{- 3 x} + \frac{e^{- 3 x}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          -3
  1   10*e  
- - + ------
  3     3
−13+103e3- \frac{1}{3} + \frac{10}{3 e^{3}} 
=
= 
          -3
  1   10*e  
- - + ------
  3     3
−13+103e3- \frac{1}{3} + \frac{10}{3 e^{3}} 
-1/3 + 10*exp(-3)/3
Respuesta numérica [src] 
-0.167376438773787
-0.167376438773787

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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