Integral de 10*(e^x-1)^9 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 10 \left(e^{x} - 1\right)^{9}\, dx = 10 \int \left(e^{x} - 1\right)^{9}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{9} - 9 u^{8} + 36 u^{7} - 84 u^{6} + 126 u^{5} - 126 u^{4} + 84 u^{3} - 36 u^{2} + 9 u - 1}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{9} - 9 u^{8} + 36 u^{7} - 84 u^{6} + 126 u^{5} - 126 u^{4} + 84 u^{3} - 36 u^{2} + 9 u - 1}{u} = u^{8} - 9 u^{7} + 36 u^{6} - 84 u^{5} + 126 u^{4} - 126 u^{3} + 84 u^{2} - 36 u + 9 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 9 u^{7}\right)\, du = - 9 \int u^{7}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{8}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 36 u^{6}\, du = 36 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 84 u^{5}\right)\, du = - 84 \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 14 u^{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 126 u^{4}\, du = 126 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{126 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 126 u^{3}\right)\, du = - 126 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{63 u^{4}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 84 u^{2}\, du = 84 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $28 u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 36 u\right)\, du = - 36 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 18 u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 9\, du = 9 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{9 u^{8}}{8} + \frac{36 u^{7}}{7} - 14 u^{6} + \frac{126 u^{5}}{5} - \frac{63 u^{4}}{2} + 28 u^{3} - 18 u^{2} + 9 u - \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{9 x}}{9} - \frac{9 e^{8 x}}{8} + \frac{36 e^{7 x}}{7} - 14 e^{6 x} + \frac{126 e^{5 x}}{5} - \frac{63 e^{4 x}}{2} + 28 e^{3 x} - 18 e^{2 x} + 9 e^{x} - \log{\left(e^{x} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} - 1\right)^{9} = e^{9 x} - 9 e^{8 x} + 36 e^{7 x} - 84 e^{6 x} + 126 e^{5 x} - 126 e^{4 x} + 84 e^{3 x} - 36 e^{2 x} + 9 e^{x} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 9 x$.

            Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{9 x}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 e^{8 x}\right)\, dx = - 9 \int e^{8 x}\, dx$

            1. que $u = 8 x$.

               Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

               $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{8 x}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 e^{8 x}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 36 e^{7 x}\, dx = 36 \int e^{7 x}\, dx$

            1. que $u = 7 x$.

               Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

               $\int \frac{e^{u}}{7}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{7 x}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36 e^{7 x}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 84 e^{6 x}\right)\, dx = - 84 \int e^{6 x}\, dx$

            1. que $u = 6 x$.

               Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{6 x}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 14 e^{6 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 126 e^{5 x}\, dx = 126 \int e^{5 x}\, dx$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{126 e^{5 x}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 126 e^{4 x}\right)\, dx = - 126 \int e^{4 x}\, dx$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{63 e^{4 x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 84 e^{3 x}\, dx = 84 \int e^{3 x}\, dx$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $28 e^{3 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 36 e^{2 x}\right)\, dx = - 36 \int e^{2 x}\, dx$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 18 e^{2 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 e^{x}\, dx = 9 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $- x + \frac{e^{9 x}}{9} - \frac{9 e^{8 x}}{8} + \frac{36 e^{7 x}}{7} - 14 e^{6 x} + \frac{126 e^{5 x}}{5} - \frac{63 e^{4 x}}{2} + 28 e^{3 x} - 18 e^{2 x} + 9 e^{x}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} - 1\right)^{9} = e^{9 x} - 9 e^{8 x} + 36 e^{7 x} - 84 e^{6 x} + 126 e^{5 x} - 126 e^{4 x} + 84 e^{3 x} - 36 e^{2 x} + 9 e^{x} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 9 x$.

            Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{9 x}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 e^{8 x}\right)\, dx = - 9 \int e^{8 x}\, dx$

            1. que $u = 8 x$.

               Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

               $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{8 x}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 e^{8 x}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 36 e^{7 x}\, dx = 36 \int e^{7 x}\, dx$

            1. que $u = 7 x$.

               Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

               $\int \frac{e^{u}}{7}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{7 x}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36 e^{7 x}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 84 e^{6 x}\right)\, dx = - 84 \int e^{6 x}\, dx$

            1. que $u = 6 x$.

               Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{6 x}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 14 e^{6 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 126 e^{5 x}\, dx = 126 \int e^{5 x}\, dx$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{126 e^{5 x}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 126 e^{4 x}\right)\, dx = - 126 \int e^{4 x}\, dx$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{63 e^{4 x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 84 e^{3 x}\, dx = 84 \int e^{3 x}\, dx$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $28 e^{3 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 36 e^{2 x}\right)\, dx = - 36 \int e^{2 x}\, dx$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 18 e^{2 x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 e^{x}\, dx = 9 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $- x + \frac{e^{9 x}}{9} - \frac{9 e^{8 x}}{8} + \frac{36 e^{7 x}}{7} - 14 e^{6 x} + \frac{126 e^{5 x}}{5} - \frac{63 e^{4 x}}{2} + 28 e^{3 x} - 18 e^{2 x} + 9 e^{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 e^{9 x}}{9} - \frac{45 e^{8 x}}{4} + \frac{360 e^{7 x}}{7} - 140 e^{6 x} + 252 e^{5 x} - 315 e^{4 x} + 280 e^{3 x} - 180 e^{2 x} + 90 e^{x} - 10 \log{\left(e^{x} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{10 e^{9 x}}{9} - \frac{45 e^{8 x}}{4} + \frac{360 e^{7 x}}{7} - 140 e^{6 x} + 252 e^{5 x} - 315 e^{4 x} + 280 e^{3 x} - 180 e^{2 x} + 90 e^{x} - 10 \log{\left(e^{x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{10 e^{9 x}}{9} - \frac{45 e^{8 x}}{4} + \frac{360 e^{7 x}}{7} - 140 e^{6 x} + 252 e^{5 x} - 315 e^{4 x} + 280 e^{3 x} - 180 e^{2 x} + 90 e^{x} - 10 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{10 e^{9 x}}{9} - \frac{45 e^{8 x}}{4} + \frac{360 e^{7 x}}{7} - 140 e^{6 x} + 252 e^{5 x} - 315 e^{4 x} + 280 e^{3 x} - 180 e^{2 x} + 90 e^{x} - 10 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$