Integral de 3/(sqrt1-x)+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{- x + \sqrt{1}}\, dx = 3 \int \frac{1}{- x + \sqrt{1}}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - x + \sqrt{1}$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(- x + \sqrt{1} \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- x + \sqrt{1}} = - \frac{1}{x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- x + \sqrt{1}} = - \frac{1}{x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

         Método #4

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- x + \sqrt{1}} = \frac{1}{1 - x}$

         2. que $u = 1 - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(1 - x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(- x + \sqrt{1} \right)}$

   El resultado es: $2 x - 3 \log{\left(- x + \sqrt{1} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x - 3 \log{\left(1 - x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x - 3 \log{\left(1 - x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x - 3 \log{\left(1 - x \right)}+ \mathrm{constant}$