Integral de x*(sin(x+y)) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x + y \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \cos{\left(x + y \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \cos{\left(x + y \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x + y \right)}\, dx$

   1. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sin{\left(x + y \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x + y \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x \cos{\left(x + y \right)} + \sin{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \cos{\left(x + y \right)} + \sin{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$