Integral de (2*x+3)*e^(x*(-2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{\left(-2\right) x} \left(2 x + 3\right) = 2 x e^{\left(-2\right) x} + 3 e^{\left(-2\right) x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x e^{\left(-2\right) x}\, dx = 2 \int x e^{\left(-2\right) x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 e^{\left(-2\right) x}\, dx = 3 \int e^{\left(-2\right) x}\, dx$

      1. que $u = \left(-2\right) x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{\left(-2\right) x}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 e^{\left(-2\right) x}}{2}$

   El resultado es: $- x e^{- 2 x} - \frac{3 e^{\left(-2\right) x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$