Integral de xcos(2x)e^sen(2x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(2 x \right)}} \cos{\left(2 x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $e^{\sin{\left(u \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{\sin{\left(u \right)}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{\sin{\left(2 x \right)}}}{2}$

      Método #2

      1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{\sin{\left(2 x \right)}}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{e^{\sin{\left(2 x \right)}}}{2}\, dx = \frac{\int e^{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx}{2}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\int e^{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int e^{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x e^{\sin{\left(2 x \right)}}}{2} - \frac{\int e^{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x e^{\sin{\left(2 x \right)}}}{2} - \frac{\int e^{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$