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Resolución de integrales/ log(x/2-1)

Integral de log(x/2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |     /x    \   
 |  log|- - 1| dx
 |     \2    /   
 |               
/                
0
∫01log⁡(x2−1) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}\, dx 
Integral(log(x/2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2−1u = \frac{x}{2} - 1.

      Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

      ∫2log⁡(u) du\int 2 \log{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(u) du=2∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int \log{\left(u \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: 2ulog⁡(u)−2u2 u \log{\left(u \right)} - 2 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2x2+2(x2−1)log⁡(x2−1)+2- \frac{2 x}{2} + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x2−1)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=12(x2−1)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \left(\frac{x}{2} - 1\right)}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2(x2−1) dx=∫xx2−1 dx2\int \frac{x}{2 \left(\frac{x}{2} - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\frac{x}{2} - 1}\, dx}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx2−1=2+4x−2\frac{x}{\frac{x}{2} - 1} = 2 + \frac{4}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x−2 dx=4∫1x−2 dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−2)4 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: 2x+4log⁡(x−2)2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx2−1=2xx−2\frac{x}{\frac{x}{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 2}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xx−2 dx=2∫xx−2 dx\int \frac{2 x}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{x}{x - 2}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            xx−2=1+2x−2\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2x−2 dx=2∫1x−2 dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. que u=x−2u = x - 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

            El resultado es: x+2log⁡(x−2)x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x+4log⁡(x−2)2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x+2log⁡(x−2)x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −x+(x−2)log⁡(x2−1)+2- x + \left(x - 2\right) \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x+(x−2)log⁡(x2−1)+2+constant- x + \left(x - 2\right) \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x+(x−2)log⁡(x2−1)+2+constant- x + \left(x - 2\right) \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 |    /x    \              2*x     /x    \    /x    \
 | log|- - 1| dx = 2 + C - --- + 2*|- - 1|*log|- - 1|
 |    \2    /               2      \2    /    \2    /
 |                                                   
/
∫log⁡(x2−1) dx=C−2x2+2(x2−1)log⁡(x2−1)+2\int \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}\, dx = C - \frac{2 x}{2} + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \log{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2
Simplificar
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.00
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1 + pi*I + log(2)
−1+log⁡(2)+iπ-1 + \log{\left(2 \right)} + i \pi 
=
= 
-1 + pi*I + log(2)
−1+log⁡(2)+iπ-1 + \log{\left(2 \right)} + i \pi 
-1 + pi*i + log(2)
Respuesta numérica [src] 
(-0.306852819440055 + 3.14159265358979j)
(-0.306852819440055 + 3.14159265358979j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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