Integral de dx/x*√‎lnx+6 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\, du = - \int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u e^{\frac{u}{2}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du = - \int u e^{\frac{u}{2}}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. que $u = \frac{u}{2}$.

                        Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

                        $\int 2 e^{u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\text{False}$

                           1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                              $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $2 e^{\frac{u}{2}}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

                     1. que $u = \frac{u}{2}$.

                        Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

                        $\int 2 e^{u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\text{False}$

                           1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                              $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $2 e^{\frac{u}{2}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u e^{\frac{u}{2}} + 4 e^{\frac{u}{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 4 \sqrt{\frac{1}{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 4 \sqrt{\frac{1}{u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{x}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 6\, dx = 6 x$

   El resultado es: $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 6 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 6 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 6 x+ \mathrm{constant}$