Integral de √x(2/x-3√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{4 t u^{2} - 12 t u \sqrt{\frac{1}{u}} + \frac{9 t}{u}}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 u^{2} t - 12 u t \sqrt{\frac{1}{u}} + \frac{9 t}{u}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{4 u^{2} t - 12 u t \sqrt{\frac{1}{u}} + \frac{9 t}{u}}{u^{3}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{- 9 t u^{\frac{9}{2}} - 4 t u^{\frac{3}{2}} + 12 t u^{3}}{u^{\frac{5}{2}}}\, du$

            1. que $u = u^{\frac{3}{2}}$.

               Luego que $du = \frac{3 \sqrt{u} du}{2}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{18 t u^{2} - 24 t u + 8 t}{3 u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{18 u^{2} t - 24 u t + 8 t}{u}\, du = - \frac{\int \frac{18 u^{2} t - 24 u t + 8 t}{u}\, du}{3}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{18 u^{2} t - 24 u t + 8 t}{u} = 18 u t - 24 t + \frac{8 t}{u}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 18 u t\, du = 18 t \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $9 u^{2} t$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(- 24 t\right)\, du = - 24 u t$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{8 t}{u}\, du = 8 t \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $8 t \log{\left(u \right)}$

                     El resultado es: $9 u^{2} t - 24 u t + 8 t \log{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{2} t + 8 u t - \frac{8 t \log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $8 u^{\frac{3}{2}} t - 3 u^{3} t - \frac{8 t \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $8 t \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{8 t \log{\left(\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \right)}}{3} - \frac{3 t}{u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 t \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \frac{8 t \log{\left(\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \right)}}{3} + \frac{3 t}{u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 8 t x^{\frac{3}{2}} + 3 t x^{3} + \frac{8 t \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t x \left(- 3 \sqrt{x} + \frac{2}{x}\right)^{2} = \frac{- 12 t x^{\frac{5}{2}} + 9 t x^{4} + 4 t x}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 12 t x^{\frac{5}{2}} + 9 t x^{4} + 4 t x}{x^{2}} = - 12 t \sqrt{x} + 9 t x^{2} + \frac{4 t}{x}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 t \sqrt{x}\right)\, dx = - 12 t \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 t x^{\frac{3}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 t x^{2}\, dx = 9 t \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 t x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 t}{x}\, dx = 4 t \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 t \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- 8 t x^{\frac{3}{2}} + 3 t x^{3} + 4 t \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t x \left(- 3 \sqrt{x} + \frac{2}{x}\right)^{2} = - 12 t \sqrt{x} + 9 t x^{2} + \frac{4 t}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 t \sqrt{x}\right)\, dx = - 12 t \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 t x^{\frac{3}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 t x^{2}\, dx = 9 t \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 t x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 t}{x}\, dx = 4 t \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 t \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- 8 t x^{\frac{3}{2}} + 3 t x^{3} + 4 t \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t \left(- 24 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{3} + 8 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t \left(- 24 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{3} + 8 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t \left(- 24 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{3} + 8 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}\right)}{3}+ \mathrm{constant}$