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Resolución de integrales/ sin(x)/ cos(x)/ cos(x)/(1+4sin(x))

Integral de cos(x)/(1+4sin(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |     cos(x)      
 |  ------------ dx
 |  1 + 4*sin(x)   
 |                 
/                  
0
∫01cos⁡(x)4sin⁡(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral(cos(x)/(1 + 4*sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=4sin⁡(x)+1u = 4 \sin{\left(x \right)} + 1.

    Luego que du=4cos⁡(x)dxdu = 4 \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

    ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    log⁡(4sin⁡(x)+1)4\frac{\log{\left(4 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(4sin⁡(x)+1)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(4sin⁡(x)+1)4+constant\frac{\log{\left(4 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                                        
 |    cos(x)             log(1 + 4*sin(x))
 | ------------ dx = C + -----------------
 | 1 + 4*sin(x)                  4        
 |                                        
/
∫cos⁡(x)4sin⁡(x)+1 dx=C+log⁡(4sin⁡(x)+1)4\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(4 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(4)   log(1/4 + sin(1))
------ + -----------------
  4              4
log⁡(14+sin⁡(1))4+log⁡(4)4\frac{\log{\left(\frac{1}{4} + \sin{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} 
=
= 
log(4)   log(1/4 + sin(1))
------ + -----------------
  4              4
log⁡(14+sin⁡(1))4+log⁡(4)4\frac{\log{\left(\frac{1}{4} + \sin{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} 
log(4)/4 + log(1/4 + sin(1))/4
Respuesta numérica [src] 
0.368455168728511
0.368455168728511

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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