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Resolución de integrales/ (x-4)/ (x-2)/ x+6/(x-2)(x-4)^2

Integral de x+6/(x-2)(x-4)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |  /      6          2\   
 |  |x + -----*(x - 4) | dx
 |  \    x - 2         /   
 |                         
/                          
0
∫01(x+(x−4)26x−2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + \left(x - 4\right)^{2} \frac{6}{x - 2}\right)\, dx 
Integral(x + (6/(x - 2))*(x - 4)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−4)26x−2=6x−36+24x−2\left(x - 4\right)^{2} \frac{6}{x - 2} = 6 x - 36 + \frac{24}{x - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6x dx=6∫x dx\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x23 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−36) dx=−36x\int \left(-36\right)\, dx = - 36 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫24x−2 dx=24∫1x−2 dx\int \frac{24}{x - 2}\, dx = 24 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 24log⁡(x−2)24 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: 3x2−36x+24log⁡(x−2)3 x^{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−4)26x−2=6x2−48x+96x−2\left(x - 4\right)^{2} \frac{6}{x - 2} = \frac{6 x^{2} - 48 x + 96}{x - 2}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        6x2−48x+96x−2=6x−36+24x−2\frac{6 x^{2} - 48 x + 96}{x - 2} = 6 x - 36 + \frac{24}{x - 2}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6x dx=6∫x dx\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x23 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−36) dx=−36x\int \left(-36\right)\, dx = - 36 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫24x−2 dx=24∫1x−2 dx\int \frac{24}{x - 2}\, dx = 24 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 24log⁡(x−2)24 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: 3x2−36x+24log⁡(x−2)3 x^{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−4)26x−2=6x2x−2−48xx−2+96x−2\left(x - 4\right)^{2} \frac{6}{x - 2} = \frac{6 x^{2}}{x - 2} - \frac{48 x}{x - 2} + \frac{96}{x - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6x2x−2 dx=6∫x2x−2 dx\int \frac{6 x^{2}}{x - 2}\, dx = 6 \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x−2=x+2+4x−2\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫4x−2 dx=4∫1x−2 dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. que u=x−2u = x - 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−2)4 \log{\left(x - 2 \right)}

            El resultado es: x22+2x+4log⁡(x−2)\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x2+12x+24log⁡(x−2)3 x^{2} + 12 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−48xx−2) dx=−48∫xx−2 dx\int \left(- \frac{48 x}{x - 2}\right)\, dx = - 48 \int \frac{x}{x - 2}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            xx−2=1+2x−2\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2x−2 dx=2∫1x−2 dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. que u=x−2u = x - 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

            El resultado es: x+2log⁡(x−2)x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −48x−96log⁡(x−2)- 48 x - 96 \log{\left(x - 2 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫96x−2 dx=96∫1x−2 dx\int \frac{96}{x - 2}\, dx = 96 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 96log⁡(x−2)96 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: 3x2−36x−72log⁡(x−2)+96log⁡(x−2)3 x^{2} - 36 x - 72 \log{\left(x - 2 \right)} + 96 \log{\left(x - 2 \right)}

    El resultado es: 7x22−36x+24log⁡(x−2)\frac{7 x^{2}}{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    7x22−36x+24log⁡(x−2)+constant\frac{7 x^{2}}{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

7x22−36x+24log⁡(x−2)+constant\frac{7 x^{2}}{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                          2
 | /      6          2\                                  7*x 
 | |x + -----*(x - 4) | dx = C - 36*x + 24*log(-2 + x) + ----
 | \    x - 2         /                                   2  
 |                                                           
/
∫(x+(x−4)26x−2) dx=C+7x22−36x+24log⁡(x−2)\int \left(x + \left(x - 4\right)^{2} \frac{6}{x - 2}\right)\, dx = C + \frac{7 x^{2}}{2} - 36 x + 24 \log{\left(x - 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-55-45
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-65/2 - 24*log(2)
−652−24log⁡(2)- \frac{65}{2} - 24 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-65/2 - 24*log(2)
−652−24log⁡(2)- \frac{65}{2} - 24 \log{\left(2 \right)} 
-65/2 - 24*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-49.1355323334387
-49.1355323334387

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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