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Resolución de integrales/ x^2+2/ (2-x)/ (2-x)/(x^2+2x+2)^2

Integral de (2-x)/(x^2+2x+2)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |       2 - x        
 |  --------------- dx
 |                2   
 |  / 2          \    
 |  \x  + 2*x + 2/    
 |                    
/                     
0
∫012−x((x2+2x)+2)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}}\, dx 
Integral((2 - x)/(x^2 + 2*x + 2)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−x((x2+2x)+2)2=−x−2(x2+2x+2)2\frac{2 - x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}} = - \frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x−2(x2+2x+2)2) dx=−∫x−2(x2+2x+2)2 dx\int \left(- \frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−2(x2+2x+2)2=x−2x4+4x3+8x2+8x+4\frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}} = \frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        x−2x4+4x3+8x2+8x+4=xx4+4x3+8x2+8x+4−2x4+4x3+8x2+8x+4\frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}

      3. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+22x2+4x+4−atan⁡(x+1)2- \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x4+4x3+8x2+8x+4) dx=−2∫1x4+4x3+8x2+8x+4 dx\int \left(- \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x+12x2+4x+4+atan⁡(x+1)2\frac{x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −2(x+1)2x2+4x+4−atan⁡(x+1)- \frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: −2(x+1)2x2+4x+4−x+22x2+4x+4−3atan⁡(x+1)2- \frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 2(x+1)2x2+4x+4+x+22x2+4x+4+3atan⁡(x+1)2\frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−x((x2+2x)+2)2=−x−2x4+4x3+8x2+8x+4\frac{2 - x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}} = - \frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x−2x4+4x3+8x2+8x+4) dx=−∫x−2x4+4x3+8x2+8x+4 dx\int \left(- \frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\right)\, dx = - \int \frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−2x4+4x3+8x2+8x+4=x−2(x2+2x+2)2\frac{x - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} = \frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        x−2(x2+2x+2)2=xx4+4x3+8x2+8x+4−2x4+4x3+8x2+8x+4\frac{x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}

      3. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+22x2+4x+4−atan⁡(x+1)2- \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x4+4x3+8x2+8x+4) dx=−2∫1x4+4x3+8x2+8x+4 dx\int \left(- \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x+12x2+4x+4+atan⁡(x+1)2\frac{x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −2(x+1)2x2+4x+4−atan⁡(x+1)- \frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: −2(x+1)2x2+4x+4−x+22x2+4x+4−3atan⁡(x+1)2- \frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 2(x+1)2x2+4x+4+x+22x2+4x+4+3atan⁡(x+1)2\frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−x((x2+2x)+2)2=−xx4+4x3+8x2+8x+4+2x4+4x3+8x2+8x+4\frac{2 - x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}} = - \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xx4+4x3+8x2+8x+4) dx=−∫xx4+4x3+8x2+8x+4 dx\int \left(- \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+22x2+4x+4−atan⁡(x+1)2- \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x+22x2+4x+4+atan⁡(x+1)2\frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4+4x3+8x2+8x+4 dx=2∫1x4+4x3+8x2+8x+4 dx\int \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x+12x2+4x+4+atan⁡(x+1)2\frac{x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(x+1)2x2+4x+4+atan⁡(x+1)\frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: 2(x+1)2x2+4x+4+x+22x2+4x+4+3atan⁡(x+1)2\frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    3x+3(x2+2x+2)atan⁡(x+1)+42(x2+2x+2)\frac{3 x + 3 \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 4}{2 \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x+3(x2+2x+2)atan⁡(x+1)+42(x2+2x+2)+constant\frac{3 x + 3 \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 4}{2 \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x+3(x2+2x+2)atan⁡(x+1)+42(x2+2x+2)+constant\frac{3 x + 3 \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 4}{2 \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                        
 |                                                                         
 |      2 - x               3*atan(1 + x)       2 + x          2*(1 + x)   
 | --------------- dx = C + ------------- + -------------- + --------------
 |               2                2                2                2      
 | / 2          \                           4 + 2*x  + 4*x   4 + 2*x  + 4*x
 | \x  + 2*x + 2/                                                          
 |                                                                         
/
∫2−x((x2+2x)+2)2 dx=C+2(x+1)2x2+4x+4+x+22x2+4x+4+3atan⁡(x+1)2\int \frac{2 - x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}}\, dx = C + \frac{2 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3    3*pi   3*atan(2)
- -- - ---- + ---------
  10    8         2
−3π8−310+3atan⁡(2)2- \frac{3 \pi}{8} - \frac{3}{10} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
  3    3*pi   3*atan(2)
- -- - ---- + ---------
  10    8         2
−3π8−310+3atan⁡(2)2- \frac{3 \pi}{8} - \frac{3}{10} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} 
-3/10 - 3*pi/8 + 3*atan(2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.182625831594963
0.182625831594963

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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