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Resolución de integrales/ sin(4x)/ sqrt2/ (sqrt2-2sin(4x))^2

Integral de (sqrt2-2sin(4x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                         
 --                         
 2                          
  /                         
 |                          
 |                      2   
 |  /  ___             \    
 |  \\/ 2  - 2*sin(4*x)/  dx
 |                          
/                           
pi                          
--                          
6
∫π6π2(−2sin⁡(4x)+2)2 dx\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right)^{2}\, dx 
Integral((sqrt(2) - 2*sin(4*x))^2, (x, pi/6, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−2sin⁡(4x)+2)2=4sin⁡2(4x)−42sin⁡(4x)+2\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} - 4 \sqrt{2} \sin{\left(4 x \right)} + 2

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(4x) dx=4∫sin⁡2(4x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(4x)=12−cos⁡(8x)2\sin^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(8x)2) dx=−∫cos⁡(8x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(8x)16- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          El resultado es: x2−sin⁡(8x)16\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x−sin⁡(8x)42 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−42sin⁡(4x)) dx=−42∫sin⁡(4x) dx\int \left(- 4 \sqrt{2} \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 4 \sqrt{2} \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(4x)\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

      El resultado es: 4x−sin⁡(8x)4+2cos⁡(4x)4 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4} + \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−2sin⁡(4x)+2)2=4sin⁡2(4x)−42sin⁡(4x)+2\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} - 4 \sqrt{2} \sin{\left(4 x \right)} + 2

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(4x) dx=4∫sin⁡2(4x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(4x)=12−cos⁡(8x)2\sin^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(8x)2) dx=−∫cos⁡(8x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(8x)16- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          El resultado es: x2−sin⁡(8x)16\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x−sin⁡(8x)42 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−42sin⁡(4x)) dx=−42∫sin⁡(4x) dx\int \left(- 4 \sqrt{2} \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 4 \sqrt{2} \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(4x)\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

      El resultado es: 4x−sin⁡(8x)4+2cos⁡(4x)4 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4} + \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4x−sin⁡(8x)4+2cos⁡(4x)+constant4 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4} + \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x−sin⁡(8x)4+2cos⁡(4x)+constant4 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4} + \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
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 |                     2                                         
 | /  ___             \                 sin(8*x)     ___         
 | \\/ 2  - 2*sin(4*x)/  dx = C + 4*x - -------- + \/ 2 *cos(4*x)
 |                                         4                     
/
∫(−2sin⁡(4x)+2)2 dx=C+4x−sin⁡(8x)4+2cos⁡(4x)\int \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right)^{2}\, dx = C + 4 x - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4} + \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.600.700.800.901.001.101.201.301.401.50020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    ___       ___       
  \/ 3    3*\/ 2    4*pi
- ----- + ------- + ----
    8        2       3
−38+322+4π3- \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{4 \pi}{3} 
=
= 
    ___       ___       
  \/ 3    3*\/ 2    4*pi
- ----- + ------- + ----
    8        2       3
−38+322+4π3- \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{4 \pi}{3} 
-sqrt(3)/8 + 3*sqrt(2)/2 + 4*pi/3
Respuesta numérica [src] 
6.09360419739992
6.09360419739992

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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