Integral de (x^2-x+1)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{2} + u + 1}{\sqrt{- u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} + u + 1}{\sqrt{- u}}\, du = - \int \frac{u^{2} + u + 1}{\sqrt{- u}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + u + 1}{\sqrt{- u}} = \frac{u^{2}}{\sqrt{- u}} + \frac{u}{\sqrt{- u}} + \frac{1}{\sqrt{- u}}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{\frac{3}{2}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = - \int u^{\frac{3}{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{5}{2}}}{5}$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

               $\int \sqrt{u}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \sqrt{- u}$

            El resultado es: $- \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(- u\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx = - \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} - 5 x + 15\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} - 5 x + 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} - 5 x + 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$