Integral de (x^3+4x^2)ln(4x)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{3} + 4 x^{2}\right) \log{\left(4 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3} \log{\left(2 \right)} + 4 x^{2} \log{\left(x \right)} + 8 x^{2} \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{4 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{3 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{4 x^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x^{2} \log{\left(2 \right)}\, dx = 8 \log{\left(2 \right)} \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{3} \log{\left(2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{4 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{8 x^{3} \log{\left(2 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3} + 4 x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x^{2} \left(x + 4\right) = x^{3} + 4 x^{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3}}{x} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{4 x^{2}}{3}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x^{2}}{3}\, dx = \frac{4 \int x^{2}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{9}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{16} + \frac{4 x^{3}}{9}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{3} + 4 x^{2}\right) \log{\left(4 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3} \log{\left(2 \right)} + 4 x^{2} \log{\left(x \right)} + 8 x^{2} \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{4 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{3 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

               1. que $u = 3 u$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{3 u}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{4 x^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x^{2} \log{\left(2 \right)}\, dx = 8 \log{\left(2 \right)} \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{3} \log{\left(2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{4 x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{8 x^{3} \log{\left(2 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(36 x \log{\left(x \right)} - 9 x + x \log{\left(4722366482869645213696 \right)} + 192 \log{\left(x \right)} - 64 + \log{\left(39402006196394479212279040100143613805079739270465446667948293404245721771497210611414266254884915640806627990306816 \right)}\right)}{144}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(36 x \log{\left(x \right)} - 9 x + x \log{\left(4722366482869645213696 \right)} + 192 \log{\left(x \right)} - 64 + \log{\left(39402006196394479212279040100143613805079739270465446667948293404245721771497210611414266254884915640806627990306816 \right)}\right)}{144}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(36 x \log{\left(x \right)} - 9 x + x \log{\left(4722366482869645213696 \right)} + 192 \log{\left(x \right)} - 64 + \log{\left(39402006196394479212279040100143613805079739270465446667948293404245721771497210611414266254884915640806627990306816 \right)}\right)}{144}+ \mathrm{constant}$