Integral de (5x^4+7)^10x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x^{4} + 7$.

      Luego que $du = 20 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{20}$:

      $\int \frac{u^{10}}{20}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{20}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{220}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x^{4} + 7\right)^{11}}{220}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(5 x^{4} + 7\right)^{10} = 9765625 x^{43} + 136718750 x^{39} + 861328125 x^{35} + 3215625000 x^{31} + 7878281250 x^{27} + 13235512500 x^{23} + 15441431250 x^{19} + 12353145000 x^{15} + 6485401125 x^{11} + 2017680350 x^{7} + 282475249 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9765625 x^{43}\, dx = 9765625 \int x^{43}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{43}\, dx = \frac{x^{44}}{44}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9765625 x^{44}}{44}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 136718750 x^{39}\, dx = 136718750 \int x^{39}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{39}\, dx = \frac{x^{40}}{40}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{13671875 x^{40}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 861328125 x^{35}\, dx = 861328125 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{95703125 x^{36}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3215625000 x^{31}\, dx = 3215625000 \int x^{31}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{401953125 x^{32}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7878281250 x^{27}\, dx = 7878281250 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{562734375 x^{28}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13235512500 x^{23}\, dx = 13235512500 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1102959375 x^{24}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15441431250 x^{19}\, dx = 15441431250 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1544143125 x^{20}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12353145000 x^{15}\, dx = 12353145000 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1544143125 x^{16}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6485401125 x^{11}\, dx = 6485401125 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2161800375 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2017680350 x^{7}\, dx = 2017680350 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1008840175 x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 282475249 x^{3}\, dx = 282475249 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{282475249 x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{9765625 x^{44}}{44} + \frac{13671875 x^{40}}{4} + \frac{95703125 x^{36}}{4} + \frac{401953125 x^{32}}{4} + \frac{562734375 x^{28}}{2} + \frac{1102959375 x^{24}}{2} + \frac{1544143125 x^{20}}{2} + \frac{1544143125 x^{16}}{2} + \frac{2161800375 x^{12}}{4} + \frac{1008840175 x^{8}}{4} + \frac{282475249 x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x^{4} + 7\right)^{11}}{220}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x^{4} + 7\right)^{11}}{220}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x^{4} + 7\right)^{11}}{220}+ \mathrm{constant}$