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Resolución de integrales/ x^2+y/ (x+y)/ (x+y)/(x^2+y^2)

Integral de (x+y)/(x^2+y^2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    _______________          
   /             2           
 \/  1 - (-1 + x)            
          /                  
         |                   
         |          x + y    
         |         ------- dy
         |          2    2   
         |         x  + y    
         |                   
        /                    
        0
∫01−(x−1)2x+yx2+y2 dy\int\limits_{0}^{\sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}}} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}\, dy 
Integral((x + y)/(x^2 + y^2), (y, 0, sqrt(1 - (-1 + x)^2)))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x+yx2+y2=xx2+y2+yx2+y2\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫yx2+y2 dy=∫2yx2+y2 dy2\int \frac{y}{x^{2} + y^{2}}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}}\, dy}{2}

      1. que u=x2+y2u = x^{2} + y^{2}.

        Luego que du=2ydydu = 2 y dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x2+y2)\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+y2)2\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xx2+y2 dy=x∫1x2+y2 dy\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dy = x \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy

      1. Integral 1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} es atan⁡(yx2)x2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}.

      Por lo tanto, el resultado es: xatan⁡(yx2)x2\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}

    El resultado es: xatan⁡(yx2)x2+log⁡(x2+y2)2\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xatan⁡(yx2)x2+log⁡(x2+y2)2+constant\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xatan⁡(yx2)x2+log⁡(x2+y2)2+constant\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                         /   y   \
                                   x*atan|-------|
  /                                      |   ____|
 |                     / 2    2\         |  /  2 |
 |  x + y           log\x  + y /         \\/  x  /
 | ------- dy = C + ------------ + ---------------
 |  2    2               2                ____    
 | x  + y                                /  2     
 |                                     \/  x      
/
∫x+yx2+y2 dy=C+xatan⁡(yx2)x2+log⁡(x2+y2)2\int \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}\, dy = C + \frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
           /   _______________                  \              /   _______________                  \                                                                
/1   I\    |  /             2            /1   I\|   /1   I\    |  /             2            /1   I\|   /1   I\    /         /1   I\\   /1   I\    /         /1   I\\
|- + -|*log|\/  1 - (-1 + x)   - x + 2*x*|- + -|| + |- - -|*log|\/  1 - (-1 + x)   - x + 2*x*|- - -|| - |- + -|*log|-x + 2*x*|- + -|| - |- - -|*log|-x + 2*x*|- - -||
\2   2/    \                             \2   2//   \2   2/    \                             \2   2//   \2   2/    \         \2   2//   \2   2/    \         \2   2//
−(12−i2)log⁡(−x+2x(12−i2))−(12+i2)log⁡(−x+2x(12+i2))+(12−i2)log⁡(−x+2x(12−i2)+1−(x−1)2)+(12+i2)log⁡(−x+2x(12+i2)+1−(x−1)2)- \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \right)} - \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \right)} + \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \right)} + \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \right)} 
=
= 
           /   _______________                  \              /   _______________                  \                                                                
/1   I\    |  /             2            /1   I\|   /1   I\    |  /             2            /1   I\|   /1   I\    /         /1   I\\   /1   I\    /         /1   I\\
|- + -|*log|\/  1 - (-1 + x)   - x + 2*x*|- + -|| + |- - -|*log|\/  1 - (-1 + x)   - x + 2*x*|- - -|| - |- + -|*log|-x + 2*x*|- + -|| - |- - -|*log|-x + 2*x*|- - -||
\2   2/    \                             \2   2//   \2   2/    \                             \2   2//   \2   2/    \         \2   2//   \2   2/    \         \2   2//
−(12−i2)log⁡(−x+2x(12−i2))−(12+i2)log⁡(−x+2x(12+i2))+(12−i2)log⁡(−x+2x(12−i2)+1−(x−1)2)+(12+i2)log⁡(−x+2x(12+i2)+1−(x−1)2)- \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \right)} - \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \right)} + \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \right)} + \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \log{\left(- x + 2 x \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \right)} 
(1/2 + i/2)*log(sqrt(1 - (-1 + x)^2) - x + 2*x*(1/2 + i/2)) + (1/2 - i/2)*log(sqrt(1 - (-1 + x)^2) - x + 2*x*(1/2 - i/2)) - (1/2 + i/2)*log(-x + 2*x*(1/2 + i/2)) - (1/2 - i/2)*log(-x + 2*x*(1/2 - i/2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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