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Resolución de integrales/ e^(x/2)/ 1/(e^(x/2)+e^x)

Integral de 1/(e^(x/2)+e^x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |   x        
 |   -        
 |   2    x   
 |  E  + E    
 |            
/             
0
∫011ex+ex2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} + e^{\frac{x}{2}}}\, dx 
Integral(1/(E^(x/2) + E^x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=ex2u = e^{\frac{x}{2}}.

    Luego que du=ex2dx2du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

    ∫2u3+u2 du\int \frac{2}{u^{3} + u^{2}}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫1u3+u2 du=2∫1u3+u2 du\int \frac{1}{u^{3} + u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3} + u^{2}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1u3+u2=1u+1−1u+1u2\frac{1}{u^{3} + u^{2}} = \frac{1}{u + 1} - \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=u+1u = u + 1.

          Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        El resultado es: −log⁡(u)+log⁡(u+1)−1u- \log{\left(u \right)} + \log{\left(u + 1 \right)} - \frac{1}{u}

      Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)+2log⁡(u+1)−2u- 2 \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(u + 1 \right)} - \frac{2}{u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −2log⁡(ex2)+2log⁡(ex2+1)−2e−x2- 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} \right)} + 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} + 1 \right)} - 2 e^{- \frac{x}{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2log⁡(ex2+1)−2log⁡(ex2)−2e−x22 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} + 1 \right)} - 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} \right)} - 2 e^{- \frac{x}{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(ex2+1)−2log⁡(ex2)−2e−x2+constant2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} + 1 \right)} - 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} \right)} - 2 e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(ex2+1)−2log⁡(ex2)−2e−x2+constant2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} + 1 \right)} - 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} \right)} - 2 e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                    -x         / x\        /     x\
 |                     ---        | -|        |     -|
 |    1                 2         | 2|        |     2|
 | ------- dx = C - 2*e    - 2*log\E / + 2*log\1 + E /
 |  x                                                 
 |  -                                                 
 |  2    x                                            
 | E  + E                                             
 |                                                    
/
∫1ex+ex2 dx=C−2log⁡(ex2)+2log⁡(ex2+1)−2e−x2\int \frac{1}{e^{x} + e^{\frac{x}{2}}}\, dx = C - 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} \right)} + 2 \log{\left(e^{\frac{x}{2}} + 1 \right)} - 2 e^{- \frac{x}{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       -1/2                   /     1/2\
1 - 2*e     - 2*log(2) + 2*log\1 + e   /
−2log⁡(2)−2e12+1+2log⁡(1+e12)- 2 \log{\left(2 \right)} - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} + 1 + 2 \log{\left(1 + e^{\frac{1}{2}} \right)} 
=
= 
       -1/2                   /     1/2\
1 - 2*e     - 2*log(2) + 2*log\1 + e   /
−2log⁡(2)−2e12+1+2log⁡(1+e12)- 2 \log{\left(2 \right)} - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} + 1 + 2 \log{\left(1 + e^{\frac{1}{2}} \right)} 
1 - 2*exp(-1/2) - 2*log(2) + 2*log(1 + exp(1/2))
Respuesta numérica [src] 
0.348798287815056
0.348798287815056

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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