Integral de x/(sqrt(x)+2) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u^{3}}{u + 2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{3}}{u + 2}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{3}}{u + 2} = u^{2} - 2 u + 4 - \frac{8}{u + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8}{u + 2}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

            1. que $u = u + 2$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(u + 2 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u^{2} + 4 u - 8 \log{\left(u + 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u^{2} + 8 u - 16 \log{\left(u + 2 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x} - 2 x - 16 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x} - 2 x - 16 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x} - 2 x - 16 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$