Integral de cos(2x+3)*sin^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + 3 \right)} = - 6 \sin{\left(1 \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 6 \sin{\left(1 \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \sin{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

      2. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

            El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \left(\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \cos{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 8 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

      2. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

            El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8 \left(\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}\right)\, dx = - 4 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}\, dx = 3 \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)}$

   El resultado es: $- 6 \left(\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \cos{\left(1 \right)} + 8 \left(\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 4 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 3 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}}{2} + 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \left(x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - \frac{3 \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}}{2} + 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \left(x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - \frac{3 \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}}{2} + 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \left(x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - \frac{3 \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}}{2} + 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin^{4}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$