Integral de xe^√x dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int 2 u^{3} e^{u}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{3} e^{u}\, du = 2 \int u^{3} e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3} e^{u} - 6 u^{2} e^{u} + 12 u e^{u} - 12 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 x^{\frac{3}{2}} e^{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 6 x e^{\sqrt{x}} - 12 e^{\sqrt{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \left(x^{\frac{3}{2}} + 6 \sqrt{x} - 3 x - 6\right) e^{\sqrt{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \left(x^{\frac{3}{2}} + 6 \sqrt{x} - 3 x - 6\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \left(x^{\frac{3}{2}} + 6 \sqrt{x} - 3 x - 6\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$