Integral de (1-3*x^2)^2/x^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{2}}{x^{5}} = \frac{9}{x} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{x}\, dx = 9 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{3}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{x^{2}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $9 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{2}}{x^{5}} = \frac{9 x^{4} - 6 x^{2} + 1}{x^{5}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{9 u^{2} - 6 u + 1}{2 u^{3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9 u^{2} - 6 u + 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{9 u^{2} - 6 u + 1}{u^{3}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{9 u^{2} - 6 u + 1}{u^{3}} = \frac{9}{u} - \frac{6}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{9}{u}\, du = 9 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{u^{2}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            El resultado es: $9 \log{\left(u \right)} + \frac{6}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{3}{u} - \frac{1}{4 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 \log{\left(x^{2} \right)}}{2} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $9 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$9 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$