Integral de 0,1arctg2x/3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\frac{1}{10} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{10}\, dx}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{10}\, dx = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx}{10}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

                  1. que $u = u^{2} + 1$.

                     Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

               1. que $u = 4 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 8 x dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{40}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{30} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{120}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{30} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{120}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{30} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{120}+ \mathrm{constant}$