Integral de x*(1/x^3-sqrtx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{7} + 2}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{7} + 2}{u^{3}} = 2 u^{4} + \frac{2}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{u^{2}}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} - \frac{1}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(- \sqrt{x} + \frac{1}{x^{3}}\right) = \frac{- x^{\frac{9}{2}} + x}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- x^{\frac{9}{2}} + x}{x^{3}} = - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{1}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 x^{\frac{7}{2}} + 5}{5 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{7}{2}} + 5}{5 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{7}{2}} + 5}{5 x}+ \mathrm{constant}$