Integral de y^3*dy/(y^2+4)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{3}}{\left(y^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{y^{3}}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 4} + 4 \sqrt{y^{2} + 4}}$

   2. que $u = y^{2}$.

      Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u \sqrt{u + 4} + 8 \sqrt{u + 4}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u + 4}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} - 4}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 4}{u^{2}} = 1 - \frac{4}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4}{u^{2}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{u + 4} + \frac{4}{\sqrt{u + 4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{y^{2} + 4} + \frac{4}{\sqrt{y^{2} + 4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{3}}{\left(y^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{y^{3}}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 4} + 4 \sqrt{y^{2} + 4}}$

   2. que $u = y^{2}$.

      Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u \sqrt{u + 4} + 8 \sqrt{u + 4}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u + 4}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} - 4}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 4}{u^{2}} = 1 - \frac{4}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4}{u^{2}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{u + 4} + \frac{4}{\sqrt{u + 4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{y^{2} + 4} + \frac{4}{\sqrt{y^{2} + 4}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{y^{2} + 8}{\sqrt{y^{2} + 4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y^{2} + 8}{\sqrt{y^{2} + 4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{2} + 8}{\sqrt{y^{2} + 4}}+ \mathrm{constant}$